循环群(Cyclic Group) 由一个元素生成。循环群具有以下定义和性质:

定义

循环群是指由一个元素所生成的群。如果一个群 中的每个元素都可以表示为某个元素 的乘方,则称 为循环群,记作 ,其中 称为 一个生成元

另一个说法 1

如果群 包含一个拥有最大阶 的元素 ,则这个群是循环群,拥有最大阶的元素称为 原根(本原元)或生成元。

循环子群

循环子群是由单个元素的所有幂所生成的群。

具体而言,设 是一个群, 中的一个元素。那么由 生成的循环子群,记作 ,定义为包含 及其所有幂次的集合。换句话说, 是由 等元素组成的集合。

循环子群的形式可以表示为 ,其中 表示整数集。

性质

  1. 循环群是阿贝尔群,即其运算是可交换的。
  2. 循环群可以是有限循环群或无限循环群两种类型。
  3. 有限循环群同构于整数同余加法群 ,其中 是循环群的阶。
  4. 无限循环群同构于整数加法群
  5. 循环群的阶等于生成元的阶。
  6. 循环群内任意一个元素所生成的群都是循环群,且是原循环群的子群。
  7. 循环群的阶是有限的,且等于生成元的最小正整数幂次。
  8. 循环群的阶是生成元的幂次的最小公倍数。

从循环群构建子群

定理:如果 是一个无限循环群,那么:

  1. 它的每个 子群 也是循环的
  2. 并且这些子群是 的一个生成元的某个幂的所有倍数构成的。

如果 是一个有限循环群,其阶(元素个数)为 ,那么对于每个 正除数 有一个且仅有一个阶为 的子群,该子群由 的生成元的 次幂生成。

构建子群的步骤

  1. 确定循环群 的生成元 的阶 (如果 是有限的)。
  2. 找出 的所有正除数(如果 是有限的)。
  3. 对于每个正除数 ,计算
  4. 生成的子群即为 的阶为 的子群。

例子

假设我们有一个循环群 ,我们想要构建 的所有子群。

  1. 阶为 12 的循环群的所有正除数是 1, 2, 3, 4, 6, 12。
  2. 对于每个正除数 ,我们找到
    • 对于 (群的单位元),所以我们得到只包含单位元的平凡子群
    • 对于 生成一个阶为 2 的子群。
    • 对于 生成一个阶为 3 的子群。
    • 对于 生成一个阶为 4 的子群。
    • 对于 生成一个阶为 6 的子群。
    • 对于 生成群 本身,阶为 12。

因此,我们得到的子群是:

  • 阶为 1 的子群:
  • 阶为 2 的子群:
  • 阶为 3 的子群:
  • 阶为 4 的子群:
  • 阶为 6 的子群:
  • 阶为 12 的子群(即 本身):

这些子群包括了 的所有可能的子群。

例子

举例来说,考虑循环群 ,其中 是一个生成元。如果 的元素集合为{},则 是一个循环群。此时, 同构 于模 6 的加法群


例子: 中,3 的幂生成子集 ,判断能否构成循环子群?

循环子群是由单个元素的所有幂所生成的群。对于给定的群 ,这是模 11 的 乘法群,即由所有模 11 下的非零元素构成的群,这些元素在乘法运算下是封闭的,并且每个元素都有一个乘法逆元。因为 11 是一个素数,所以 是一个有 10 个元素的循环群。

现在,我们要考察 3 在这个群中的幂是否可以生成一个子群 。在 中,3 的幂会形成一个序列,其中每个后续元素都是前一个元素与 3 相乘的结果,模 11。我们可以计算 3 的连续幂,直到我们回到 1(这将证明循环性),或者我们发现一些重复(这将意味着我们没有得到一个循环子群)。

让我们计算 3 的幂:

因此,3 的前五个幂在模 11 下分别是 3, 9, 5, 4 和 1。这些正好是集合 的元素。由于我们在第五次幂后回到了 1,这意味着集合 是由 3 的幂生成的,并且确实构成了一个子群。更重要的是,由于我们能够回到 1 而没有遇到任何其他元素,这表明 是一个循环子群,由元素 3 生成。

Footnotes

  1. 清华大学出版社,《深入浅出密码学》,2012 年 9 月,第 199 页。