等价类(equivalence class) :给定的 等价关系 下,将元素划分为相互等价的集合。

具体地说,假设我们有一个集合 和一个等价关系 。对于集合 中的任意元素 ,它的等价类是由与 等价的所有元素组成的集合。这个等价类通常表示为 ,其中 是等价类的代表元素。

在一个等价类中,任意两个元素都具有相同的关系,而不同等价类中的元素则具有不同的关系。等价类划分将集合划分为互不相交的等价类,使得每个元素都被划分到一个等价类中。

例如,考虑整数集合 上的等价关系 ” 同余 “(congruence)。在模 的情况下,整数 被称为同余,记作 ,当且仅当它们与 取模后得到相同的余数。在这种情况下,整数集合 被划分为 个不同的等价类,每个等价类包含与某个给定的余数同余的整数。每个等价类可以用一个代表元素来表示,代表元素是该等价类中的一个整数。

等价类的定义要求满足以下性质:

  1. 自反性:对于任意元素 与自身等价,即 。这意味着 属于它自己的等价类。
  2. 对称性:如果 等价,即 ,那么 也与 等价,即 。这意味着 属于同一个等价类。
  3. 传递性:如果 等价,并且 等价,即 ,那么 也等价,即 。这意味着属于同一个等价类的元素之间可以通过等价关系进行传递。

例子

例子:整数集 中的偶数和奇数。我们可以定义一个等价关系,即如果两个整数的差是偶数,则它们是等价的。根据这个等价关系,整数集可以被划分为两个等价类:偶数和奇数。每个等价类都由与其等价的整数组成。


例子:是在集合 中考虑平面上的点。我们可以定义一个等价关系,即如果两个点在直线 上,它们是等价的。根据这个等价关系,平面上的点可以被划分为无数个等价类,每个等价类都由与其等价的在直线 上的点组成。