群(Group)

群是一个集合,配合一个二元运算,满足以下四个条件:

  • 封闭性:对于群中的任意两个元素进行运算后的结果仍然属于该群。
  • 结合律:群中的运算满足结合律,即对于群中的任意三个元素
  • 单位元:群中存在一个特殊的元素 ,称为单位元,对于群中的任意元素
  • 逆元:对于群中的任意元素 ,存在一个元素 ,称为 的逆元,满足

群的例子:

  • 整数群:整数集合 ,配合加法运算,满足群的所有公理。
  • 对称群:所有对称变换构成的集合,配合变换的复合运算,满足群的所有公理。

满足消去律的有限半群就是群,可以在 南开大学-近世代数、抽象代数 6-1-2半群与群2 的 22 分 20 秒处找到详细的证明。

满足交换律的群称为阿贝尔群

一个群 是有限的,仅当他拥有有限个元素。群的元素个数,或基,或阶记作

  • 例子:群 的阶是 ,其中 表示欧拉函数的值,表示小于等于 且与 互素的正整数的个数。

例子

证明   是一个群

我们需要证明以下几个性质:

  1. 封闭性:对于任意的整数 仍然是一个整数。这是因为整数的加法运算是封闭的。
  2. 结合律:对于任意的整数 。这是因为整数的加法运算满足结合律。
  3. 单位元:存在一个整数 ,对于任意的整数 。这是因为整数的加法运算有一个单位元素
  4. 逆元素:对于任意的整数 ,存在一个整数 ,使得 。这是因为整数的加法运算有逆元素。
  5. 交换律:对于任意的整数 。这是因为整数的加法运算满足交换律。

因此,我们可以得出结论: 是一个群,并且是阿贝尔群。

证明 是一个群

要证明 是一个群,我们需要验证以下几个性质:

  1. 封闭性:对于任意的复数 ,它们的乘积 仍然是一个复数。复数的乘法是封闭的。
  2. 结合律:对于任意的复数 ,以及 。由于复数的实部和虚部满足实数的结合律,所以复数的乘法也满足结合律。
  3. 单位元:存在一个复数 ,对于任意的复数 ,以及 。复数 是乘法的单位元素。
  4. 逆元素:对于任意的非零复数 ,存在一个复数 ,使得 ,以及 。每个非零复数都有一个乘法逆元素。

因此, 是一个群。

定理:  中满足 的元素与乘法模 构成一个阿贝尔群,且单位元为

要证明集合 中满足 的元素与乘法模 构成一个阿贝尔群,我们需要验证以下几个性质:

  1. 封闭性:对于任意的 ,如果 ,则 ,即 也属于

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  2. 结合律:对于任意的 ,如果 ,且 ,则

  3. 单位元:存在一个元素 使得对于所有 ,都有 。在乘法群 中,这个单位元是 ,因为 与任何整数相乘都会得到它本身,且对于任何 ,都有

  4. 逆元:对于 中的每个元素 ,都存在一个元素 使得 。由于 互质,根据 贝祖定理,存在整数 使得 ,或者说 。这里的 就是 中的逆元。

  5. 交换律:对于任意的 ,如果 ,则

由于所有的元素都有逆元,并且乘法满足交换律, 实际上是一个交换群(或称阿贝尔群)。所以, 中的单位元是

注,对于逆元,举个直观例子,对于 的逆元就是 。证明如下: 现在我们将 取模:. 由于 除以 的余数为 ,这意味着 。因此, 确实是 中的逆元,所以这个陈述是真的。实际上这是通过贝祖定理算出来的一个逆元。