群同态(Group Homomorphism) 是一种特殊的映射关系,它保持了群之间的运算结构和单位元素。

定义

设有两个群 ,其中 是群的集合, 分别是群 的运算。一个群同态是一个映射 ,满足以下两个条件:

  1. 对于任意的 ,有 ,即对于群 中的元素,它们的映射到群 中后的运算结果等于它们的映射分别运算后的结果。(同态
  2. 对于群 的单位元素 ,有 ,即群 的单位元素映射到群 的单位元素。

例子

举例来说,考虑两个整数加法群 ,其中 是整数集合, 是模 2 整数集合。我们定义一个映射 ,其中 表示整数 模 2 的余数。

例如,对于 ,我们有 ,因为 3 除以 2 的余数是 1。同样地,对于 ,我们有 ,因为 -2 除以 2 的余数是 0。

这个映射 是一个群同态,因为它满足群同态的两个条件。首先,对于任意的整数 ,我们有 。其次,单位元素 0 映射为 的单位元素 0。