拉格朗日定理是群论中的一个基本定理,它给出了有限群的子群的阶(即元素的个数)与整个群的阶之间的关系。

具体地说,假设 是一个有限群, 的一个子群。那么 的阶(记作 )是 的阶(记作 )的一个因子。换句话说, 的整数倍。

拉格朗日定理的证明通常依赖于左陪集的概念。给定群 中的一个子群 中的任意元素 ,可以构造 的左陪集 。所有这样的左陪集将 划分为互不相交的等价类,每个等价类的大小都等于 的阶。

证明拉格朗日定理的关键步骤如下:

  1. 左陪集的等价关系:首先证明左陪集划分构成了一个等价关系。这意味着每个元素 都属于某个左陪集,并且任意两个左陪集要么完全相同,要么完全不相交。
  2. 左陪集的大小:接着证明任意两个左陪集的大小相同,且这个大小等于子群 的阶。这是因为存在从 到任意左陪集 的一个双射,即对于 中的每个元素 ,都有 中的唯一元素 与之对应。
  3. 计数原理:最后,由于 是有限的,我们可以计算 的阶,即 中元素的总数。由于 被划分成了大小相等的左陪集, 的阶 等于左陪集的个数乘以子群的阶 。这意味着 必须是 的一个因数。

通过上述步骤,我们可以看到,任何群 的子群 的阶 必然整除群 的阶 ,这就是拉格朗日定理的内容。