(Lattice):如果一个 偏序集合 中,其任意两个元素的子集都有最小上界和最大下界,那么这个偏序集合就是一个格。 表示 表示

LUB(Least Upper Bound): 是最小上界,即没有比 更小的上界

GLB(Greatest Lower Bound): 是最大下界,即没有比 更大的下界

交和并

交()是指在格结构中,给定两个元素 ,找到它们的最大下界。换句话说,交是指在格中找到一个元素,它既大于等于 又大于等于 ,并且没有其他元素同时满足这两个条件。交运算可以看作是取两个元素的共同特征的操作。

并()是指在格结构中,给定两个元素 ,找到它们的最小上界。换句话说,并是指在格中找到一个元素,它既小于等于 又小于等于 ,并且没有其他元素同时满足这两个条件。并运算可以看作是取两个元素的共同包容的操作。

在格结构中,交和并运算具有以下性质:

  1. 交和并运算都是二元运算,即需要两个元素作为输入。
  2. 交和并运算分别都是可结合的,即对于任意三个元素 ,有
  3. 交和并运算都是可交换的,即对于任意两个元素 ,有
  4. 交和并运算都满足吸收律,即对于任意元素 ,有

假设我们有一个格结构,其中元素的集合为 ,并且给定以下关系:

  • 元素 a 和 b 之间存在关系 ,当且仅当 a 能整除 b。

现在我们来计算一些例子:

  1. 交运算():

    • 对于元素 2 和 4,它们的最大下界是 2,因为 2 既能整除 2 又能整除 4,并且没有其他元素同时满足这两个条件,所以
    • 对于元素 3 和 5,它们的最大下界是 1,因为 1 既能整除 3 又能整除 5,并且没有其他元素同时满足这两个条件,所以
  2. 并运算():

    • 对于元素 2 和 4,它们的最小上界是 4,因为 4 既能被 2 整除又能被 4 整除,并且没有其他元素同时满足这两个条件,所以
    • 对于元素 3 和 5,它们的最小上界是 15,因为 15 既能被 3 整除又能被 5 整除,并且没有其他元素同时满足这两个条件,所以

布尔代数格

布尔代数格(Boolean Algebra Lattice):布尔代数格是一种特殊的格,它满足以下额外条件:

  • 对于任意元素 ,存在其补元素(complement) ,使得

^boolean-algebra-lattice