左陪集(Left Coset) 是群论中的一个重要概念。给定一个群 和它的一个子群 ,对于 中的一个元素 ,可以构造出由 中元素的乘积所组成的集合,即左陪集。左陪集记作 ,定义为

换句话说,左陪集 是由将 中的每个元素进行运算所得到的结果组成的集合。

左陪集具有一些特点。

  1. 左陪集中的元素具有相同的个数,即与子群 的阶相等。
  2. 左陪集之间要么是相等的,要么是不相交的。这意味着群 可以被左陪集划分为一些 等价类

例子

例子 1:

考虑群 ,即整数集上的加法群,以及子群 ,即由所有偶数组成的子群。

左陪集 包含所有与 0 在模 2 下同余的整数。换句话说,它包含所有偶数。

左陪集 包含所有与 1 在模 2 下同余的整数。换句话说,它包含所有奇数。

左陪集一起构成了整数群的一个商群,这个商群只有两个元素:偶数子群本身 和左陪集

问:为什么这里会引入加法?

我们需要使用群的运算来定义陪集。可以使用加法、乘法等诸多二元关系来构造。

当我们说 ,我们实际上是在说集合 ,这是通过取 中的每个元素并加上 1 来构造的。这个集合包含了所有形如 的整数,其中 是任意整数,因此它包含了所有奇数整数。

因此, 的一个左陪集,因为它是通过对子群 的每个元素应用群的加法运算(在这个情况下加上 )来构造的。


例子 2:

考虑群 ,即模 6 加法群,以及子群

左陪集 包含所有与 0 在模 6 下同余的整数,即

左陪集 包含所有与 1 在模 6 下同余的整数,即

左陪集 包含所有与 2 在模 6 下同余的整数,即