映射(Mapping) 一种将一个集合的元素转换到另一个集合的元素的规则。映射也被称为函数,它描述了元素之间的关系。

要素

一个映射通常由三个重要的要素组成:

  1. 源集合(Domain):这是映射的起始点,也就是映射的输入值可以来自的集合。我们用 来表示源集合。
  2. 目标集合(Codomain):这是映射的终点,也就是映射的输出值所在的集合。我们用 来表示目标集合。
  3. 规则(Rule):这是映射的定义,它描述了如何将源集合的元素映射到目标集合中的元素。我们用 或者其他字母来表示映射的规则。

类型

单射(Injection)

如果每个不同的输入元素都被映射到不同的输出元素,那么映射是单射。也就是说,对于映射 ,如果对于任意 ,当 时,,则映射 是一个单射。

性质:

  • 对于任意的 ,如果 ,则 。这意味着不同的输入元素永远映射到不同的输出元素。

满射(Surjection)

如果对于目标集合 中的每个元素,都存在至少一个源集合 中的元素与之对应,那么映射是满射。也就是说,对于映射 ,如果对于每个 ,存在至少一个 ,使得 ,则映射 是一个满射。

满单射(Bijection)

如果一个映射既是单射又是满射,那么它是满单射。也就是说,对于映射 ,如果对于任意的 ,当 时,,并且对于每个 ,存在唯一的 ,使得 ,则映射 是一个满单射。

  • 满单射将源集合 中的每个不同的元素映射到目标集合 中的不同元素,同时覆盖了整个目标集合。
  • 满单射是一种一一对应的映射,每个元素在映射中有唯一对应的元素。

当两个结构之间存在一个满单射映射,并且这个映射保持了两个结构之间的运算和关系,我们就可以说这两个结构是 同构 的。