乘法(Multiplicative group) 是一种满足以下性质的代数结构:

  • 它是一个非空集合,其中定义了乘法二元运算
  • 这种运算对集合中的元素封闭,满足结合律
  • 存在一个单位元,且每个元素都有一个逆元

例子:有非零实数乘法群、整数模 n 乘法群

是整数模 3 乘法群的符号,它表示由模 3 的互质同余类组成的集合,即 。这个群的乘法运算规则是按照模 3 的同余关系进行的,例如 是一个交换群,因为它的乘法运算满足交换律。

例子

整数模 3 乘法群,记作

首先,需要了解模 的乘法群的定义。模 的乘法群是由模 的整数集合中与 互质的整数构成的集合,记作 。互质意味着两个数的最大公约数为 1。

对于 ,我们需要找到模 3 的整数集合中与 3 互质的整数。模 3 的整数集合为 。在这个集合中, 互质,因此 = {1, 2}。

乘法群的运算是模 n 乘法,即对两个元素进行乘法运算,然后取模 n 的结果。在 中,乘法运算如下:

可以看到, 满足群的基本性质:封闭性、结合律、存在单位元(在这里是 1)以及每个元素都有逆元(在这里,1 和 2 互为逆元)。因此 是一个乘法群。