正规子群(Normal Subgroup, Invariant Subgroup) :在群论中,一个子群 要成为群 的一个正规子群(记作 ),它必须满足对于 中的任意元素 ,都有 。也就是说, 中是不变的,对于 的共轭作用是封闭的。

或者说,如果一个子群在群的运算下保持不变,那么它被称为正规子群。

正规子群的重要性在于它们可以用于构造 商群。商群是通过将群 中的元素划分为等价类而产生的群。这些等价类是由正规子群 的陪集所确定的。商群的定义中,正规子群的存在是至关重要的。

正规子群的性质还包括:

  • 正规子群是群的子群。
  • 如果一个子群是群的正规子群,那么它的左陪集和右陪集是相等的。
  • 正规子群的陪集构成了商群的元素。

例子

对于整数集 ,它是一个群,在加法下闭合。如果我们考虑由偶数构成的子集 ,那么它是 的一个子群。由于对于任意整数 和偶数 ,都有 属于 ,所以 的一个正规子群。


反例:考虑群 ,即三个元素的置换群,它包含以下六个元素:

  • (恒等置换)
  • (交换 1 和 2)
  • (交换 1 和 3)
  • (交换 2 和 3)
  • (循环置换)
  • (循环置换)

现在考虑 的子群 。我们可以检查 是否为 的正规子群。为了是正规子群,对于 中的任何元素 中的任何元素 的共轭 也必须在 中。但是如果我们选择 ,则:

这个结果 不在 中,因此 不是一个正规子群。事实上, 中除了自己和单位子群以外,没有其他正规子群。