偏序集合(Partially Ordered Set):指配备了偏序关系的集合。偏序关系是一种将集合中的元素进行排序或排列的关系,不需要保证所有元素之间都可以相互比较。偏序集合在序理论中起着重要的作用,它将直觉概念抽象化,用于研究集合元素之间的排序关系。

偏序集合的定义和例子如下:

定义

给定集合 和二元关系 ,如果关系 满足以下三个条件,即自反性、反对称性和传递性,那么称 上的非严格偏序或自反偏序关系。

  • 自反性:对于 中的任意元素 ,有
  • 反对称性:对于 中的任意元素 ,如果 ,则
  • 传递性:对于 中的任意元素 ,如果 ,则

例子

考虑整数集合 ,我们可以定义关系 为常规的整数大小关系。在这种情况下,整数集合 配合关系 构成一个偏序集合。因为关系 满足自反性、反对称性和传递性的条件。