置换群(Permutation Group) 特指由一定集合上所有置换构成的 ,这里的置换指的是将集合中元素进行重新排列的一种映射。在置换群中,群的运算是置换的复合。

置换群的性质:

  1. 封闭性:任意两个置换的复合仍然是一个置换。
  2. 结合律:置换的复合满足结合律,即对于任意三个置换 ,有
  3. 单位元:存在一个单位置换,它将集合中的每个元素映射到其自身,这个单位置换作为复合的单位元。
  4. 逆元:每个置换都有一个逆置换,与其复合后得到单位置换。

置换群的一个重要例子是对称群。对称群 是包含 个元素的集合上所有可能置换的群,其元素个数是 的阶乘(),因为这是 个不同元素的所有可能排列数。

例子

考虑一个包含三个元素的集合 ,其对称群 包含所有这三个元素排列的置换。 中的置换有:

  1. :单位置换,不改变任何元素的位置(, , )。
  2. :交换元素 1 和 2 的位置。
  3. :交换元素 1 和 3 的位置。
  4. :交换元素 2 和 3 的位置。
  5. :循环置换,1→2, 2→3, 3→1。
  6. :循环置换,1→3, 3→2, 2→1。

这些置换构成了 ,它们之间可以进行复合运算,比如 复合得到 ,即 。可以验证 满足群的定义:它对复合运算封闭,存在单位元 ,每个元素都有逆元,且复合运算满足结合律。


例子:计算

置换的复合运算在一般情况下是右结合的。也就是说,当计算 时,我们先计算 ,然后再将结果与 进行复合运算。

首先,我们有 。要计算 ,我们按照以下步骤进行:

  1. 首先计算 ,也就是 的逆置换。由于 ,逆置换 。这是因为将 中的元素反向排列即可得到
  2. 接下来,我们将 进行复合运算。根据复合运算的定义,我们将 中的元素按照 中的映射进行重新排列。由于 ,我们可以得到 。这是因为 将元素 映射到 ,元素 映射到 ,而 将元素 映射到 ,元素 映射到 ,元素 映射到 ,因此复合运算后的结果是
  3. 因此,我们得到

在我们的例子中,我们计算了 ,得到了 。然后,我们将这个结果与 进行复合运算,得到了