商群(Quotient Group) 是通过保持群结构的等价关系来将较大群中的类似元素聚类而产生的群。给定一个群 的正规子群 上的商群或因子群,在直觉上是将正规子群 “萎缩” 为单位元的群。商群通常写作 (mod 是模的简写)。

商群的定义和动机:

  • 商群是通过将群 中的元素划分为等价类来构造的。这些等价类完全由包含单位元的子集所确定。正规子群是在任何这种划分中包含单位元的集合。在划分中的子集是正规子群的陪集。
  • 商群的定义受到整数除法的启发。当我们将12个对象重新分组为3个对象的4个子集时,得到的商是4。类似地,商群通过将群中的元素重新分组为等价类,得到一个具有群结构的群作为最终答案。

举例说明:

  • 考虑整数集 (在加法下)的群和所有偶数构成的子群 。这是一个正规子群,因为 是阿贝尔群。商群 是一个两个元素的循环群,可以看作是集合 带有模2加法运算的群。
  • 考虑整数集 在加法下的群和任意正整数 。我们可以构造由 的所有倍数组成的子群 。这个正规子群将群分解为 个陪集,每个陪集表示为 ,其中 除以 的余数。商群 可以看作是模 的 “余数” 的群,它是一个 阶循环群。