环(Ring)

环是一个集合,配合两个二元运算(加法和乘法),满足以下条件:

关于加法的条件:

  • 封闭性:对于环中的任意两个元素进行加法运算后的结果仍然属于该环。
  • 结合律:环中的加法满足结合律,即对于环中的任意三个元素
  • 存在零元素:环中存在一个特殊的元素 ,称为零元素,对于环中的任意元素
  • 存在负元素:对于环中的任意元素 ,存在一个元素 ,称为 的负元素,满足

关于乘法的条件:

  • 封闭性:对于环中的任意两个元素进行乘法运算后的结果仍然属于该环。

  • 结合律:环中的乘法满足结合律,即对于环中的任意三个元素

  • 分配律:对于环中的任意三个元素 ,乘法对加法满足分配律,即

  • [!] 注意:环(Ring)并不要求乘法可交换。当乘法可交换时,我们称该环为交换环(Commutative Ring),否则称为非交换环(Non-commutative Ring)。

环的例子:

  • 整数环:整数集合 ,配合加法和乘法运算,满足环的所有公理。
  • 多项式环:所有多项式构成的集合,配合多项式的加法和乘法运算,满足环的所有公理。

环具有两个二元运算(加法和乘法),而 只有一个二元运算(乘法或加法)。此外,环还具有乘法和加法之间的分配律,而群没有这个性质。