离散对数问题(Discrete Logarithm Problem,DLP)

给定一个 有限域 上的素数 、一个 生成元 ,以及一个整数 ,离散对数问题要求找到满足 的整数

换句话说,离散对数问题要求在给定 的情况下,找到一个整数 ,使得 次幂与 在模 意义下相等。

GDLP 问题

DLP 没有限制必须定义在乘法群 内。因此有了 GDLP。

推广的离散对数问题(GDLP)是离散对数问题的一种扩展形式。具体来说,推广的离散对数问题的定义如下:

  • 给定一个基为 的有限循环群 ,群操作为
  • 考虑一个生成元 和另一个生成元
  • 推广的离散对数问题是找到一个在 内的整数 ,满足 (共 次)。

通常,解决推广的离散对数问题的算法包括暴力搜索和大步小步算法。暴力搜索是通过尝试所有可能的 值来找到满足条件的 。大步小步算法是对暴力搜索的改进,通过预先计算一部分结果来减少搜索的时间复杂度。

安全性

求解基于 的离散对数问题是困难的,即找到满足等式的 的计算是计算上困难的。这个问题在密码学中具有重要意义,特别是在公钥密码学中,如。Diffie-Hellman 密钥交换 和椭圆曲线密码学中的椭圆曲线离散对数问题。

基于 的离散对数问题的难度是基于目前尚未发现有效的算法来解决它。目前已知的最有效的算法是基于数论的算法,例如指数增长算法和数域筛选算法。


然而,量子计算机上已经提出了一些算法,如 Shor 算法,可以在多项式时间内解决离散对数问题、质因子分解问题。这意味着,如果量子计算机的发展进展顺利,它们可能会对传统的基于 的离散对数问题构成威胁。

为了对抗量子计算的威胁,研究人员正在积极研究和开发基于量子安全的密码算法。这些算法基于其他数学问题,如基于 的密码学或椭圆曲线密码学,这些问题在量子计算机上没有已知的高效算法。