如果一个半群有单位元,那么它就成为了一个单位半群(Monoid),也叫幺半群。

单位半群是在半群的基础上添加了单位元的一种代数结构。单位元是一个元素,通常用 表示,满足对于任意 ,都有 。这意味着单位元在运算中起到了“中性”的作用,类似于数字中的零或者乘法中的一。

有了单位元,单位半群就可以更好地描述运算的性质,例如在字符串连接中,空字符串就是单位元;在整数加法中,零就是单位元。

可交换的幺半群

如果对幺半群进行进一步的限定,我们可以得到一个幺半群的子类,称为可交换幺半群(Commutative Monoid)。

可交换幺半群是一个满足结合律和交换律的幺半群。具体地说,对于任意 ,都有 。这意味着在可交换幺半群中,元素的顺序不影响运算的结果。

比如,在整数加法中,我们知道 ,这符合可交换幺半群的性质。类似地,在字符串连接中,字符串的顺序交换也不会改变最终的连接结果。

如果一个幺半群具有可逆性,那么它是一个(Group)。